Algumas Fórmulas da Geometria Espacial

CUBO



A medida de sua diagonal é a³.

A área total é 6a².

O volume é V=AbxH.

PARALELEPÍPEDO



A medida da diagonal é calculada pela relação D =

O valor da área total é expresso por a_t = 2(ab + ac + bc)

O volume é obtido pelo produto das dimensões, ou seja, V = abc

PRISMA



Área da Base (Ab) ; Representa a área do polígono da base.     A_B = a² . V3 /  4          

Área lateral (AL) : Representa a soma das áreas das faces laterais.

Área total (At):    A_T = 2 A_B + A_L

Planificações da Geometria Espacial

Há várias planificações possíveis para os diferentes sólidos a seguir apresentados:

CUBO

PRISMA QUADRANGULAR

PRISMA PENTAGONAL

PRISMA TRIÂNGULAR

PARALELEPÍPEDO

Aplicações da Geometria Espacial

A Geometria é a mais antiga manifestação da atividade matemática conhecida. Ela surgiu de necessidades práticas do uso do espaço e a utilização das formas geométricas com grande riqueza e variedade percorrem a história da humanidade, em diferentes atividades, como por exemplo, no desenvolvimento de habilidade em engenharia com utilização da Geometria prática, na agricultura, na pecuária, no comércio, na arte, entre outros (REIS, 2001).

Atualmente, inúmeras profissões utilizam a os conceitos geométricos, entre elas pode-se citar: a engenharia, a arquitetura, a astronomia, as pesquisas nas ciências exatas, as atividades de uma costureira, de um mestre de obras, de um coreógrafo, de um artista plástico, de um atleta ou técnico. Sendo assim, a importância da Geometria é inquestionável, tanto sob o ponto de vista prático quanto do aspecto instrumental na organização do pensamento.

Existem situações cotidianas no ambiente em que os alunos vivem que exigem um pensamento elaborado da Geometria para que sejam solucionados. Situações como criar um brinquedo, pintar uma parede ou montar um equipamento simples podem se transformar em um grande problema e desmotivar a própria criação do indivíduo.

A Geometria é a ciência que tem como objetivo analisar, organizar e sistematizar o conhecimento espacial (SEED, 2007). Sua importância é inquestionável tanto do ponto de vista prático quanto do aspecto instrumental  na organização do pensamento lógico, como citado pelo matemático suíço, Jacques Bernoulli “A geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida”.

A Matemática reveste-se de significado quando utiliza conceitos aplicáveis na vida diária e ainda como suporte para as várias ciências como engenharia, arquitetura, física, medicina entre outra. A Geometria é um componente da Matemática extremamente importante na construção desses conhecimentos científicos e tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar.

De um modo geral o estudo da Geometria, enfatiza a compreensão da relação com o espaço e as atividades geométricas percebidas favorecem:

·         o desenvolvimento da noção de espaço;

·         o desenvolvimento da habilidade de observação do espaço tridimensional e da elaboração de meios de se comunicar a respeito desse espaço;

·         a integração com outras áreas.

História da Geometria

"Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas."

ARQUIMEDES



Arquimedes nasceu em Siracusa em 287A. C na ilha da Sicília.

Foi um matemático e inventor grego, e criou um método para calcular o número π.
Arquimedes estudou em Alexandria, o templo do saber da época, com Cônon, um dos discípulos de Euclides.

Na origem a palavra geometria (do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, "medir terra") acreditava que nada do que existe é tão grande que não possa ser medido. O estudo do espaço teve origem com a Geometria, primeiro com a Geometria euclidiana e a Trigonometria, mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-Euclidianas, as quais cumprem importante papel na formulação da teoria da relatividade.

As maiores contribuições de Arquimedes foram na geometria, os seus métodos avançados de cálculo integral 2.000 anos antes de Newton. As suas últimas pesquisas teriam sido iniciadas a fim de responder a Hierão, rei de Siracusa, que lhe terá perguntado se a sua coroa era realmente de ouro puro. Conseguindo solucionar o problema enquanto se banhava, Arquimedes terá saído à rua gritando: Eureka! Eureka! Trata-se do Princípio ou Teorema de Arquimedes. Acabando por morrer em 212 A. C. durante a captura de Siracusa pelos romanos, na segunda guerra de Punic, depois de todos os seus esforços para manter os romanos na baía, com as suas máquinas de guerra, terem falhado.

RENÉ DESCARTES

René Descartes foi filósofo, físico e matemático francês. Notabilizou-se sobretudo por seu trabalho revolucionário na filosofia, mas também obteve reconhecimento matemático posterior por sugerir a fusão da álgebra com a geometria, fato que gerou a geometria analítica e um sistema de coordenadas que hoje leva o seu nome. Por esses feitos ele teve um papel chave na Revolução Científica influenciando o desenvolvimento por Leibniz e Newton do Cálculo moderno.
De entre os vários domínios matemáticos em que Descartes trabalhou, salientamos os seguintes:

· Geometria analítica
· Álgebra geométrica
· Classificação das curvas
· Identificação de cónicas
· Normais e tangentes

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressara aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de frequentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.
A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.

LEONHARD EULER



Em 1723, recebe o grau de Mestre em Filosofia.

Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de Johann Bernoulli que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática.

Fórmulas e Teoremas:

As funções e fórmulas de Euler são muito comuns na matemática. Duas das mais famosas são:

e^(ix) = cos(x) + i sin(x) (quando  x = ¼  nós temos   ei¼ - 1 = 0 ), e

V - A + F = 2 para qualquer poliedro simples com Vértices, A arestas e F faces

 O Número de Euler:



Seu trabalho foi do cálculo e da análise à medida que publicou sua trilogia, Introductio in analysin infinitorum, Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis. Esses trabalhos, que perfaziam um total de seis volumes, fizeram da função uma parte central do cálculo e tratavam de álgebra, trigonometria, geometria analítica e teoria dos números. Euler deu à geometria analítica moderna e à trigonometria o que o livro Elements, de Euclides, deu à geometria, e a tendência resultante de apresentar a matemática e a física em termos matemáticos prosseguiu desde então. Euler enriqueceu a matemática com muitos conceitos, técnicos e notações ainda em uso nos dias de hoje.

EUCLIDES

Euclides de Alexandria (360 a . C – 295 a . C) nasceu na Síria e estudou em Atenas na Academia de Platão. Foi professor, matemático platónico e escritor, um dos primeiros estudiosos de geometria e é reconhecido como um dos matemáticos mais importantes da Grécia Clássica e de todos os tempos.
Tornou-se o mais importante autor de matemática da Antiguidade greco-romana e de todos os tempos, com o seu monumental Stoichia ( Os elementos, 300 a . C) no estilo de texto, uma obra em treze volumes, sendo cinco sobre geometria no plano, três sobre números, um sobre a teoria das proporções, um sobre incomensuráveis e os três últimos sobre geometria no espaço.
Muitos dos seus livros perderam-se, mas Euclides foi muito importante na aritmética, álgebra e geometria. Demonstrou vários teoremas dando, assim, coerência ao seu estudo. Estudou também astrologia, óptica, astronomia, música e mecânica. É também conhecido pelo Algoritmo de Euclides.
Fundou a importante escola de Matemática na reconhecida Biblioteca de Alexandria.
Nenhuma descoberta nova lhe foi atribuída, mas era conhecido pela sua habilidade de expor. Essa é a chave do sucesso da sua maior obra Os Elementos, já em cima referida. Como já constámos Euclides foi sinónimo de geometria e reinou em absoluto até ao séc. XIX, quando foi parcialmente contestado por Rimann, Lobatchewski e Bolyai, três criadores da geometria não-euclidianas.